克拉默法则

Cramer's Rule

是线性代数中一个关于求解线性方程组的基本定理，适用于求解变量和方程数目相等的线性方程组。
对于多于两个或三个方程的系统，在计算上非常低效，它的意义主要在于它给出了方程组解与系数的明显关系。

假设线性方程组表示为：

A x = b \Leftrightarrow {\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{n} \end{cases}

\begin{aligned} x & = {(\begin{array}{c} x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \end{array})}^{T} \\ b & = {(\begin{array}{c} b_{1} & b_{2} & \dots & b_{n} \end{array})}^{T} \end{aligned}

系统矩阵的行列式为：

\begin{array}{r} | A | = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{2 i} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 i} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{2 i} & \dots & a_{n n} \end{array} | \end{array}

将解向量替换对应列得到的矩阵的行列式为：

\begin{array}{r} | A_{i} | = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & b_{1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & b_{2} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & b_{n} & \dots & a_{n n} \end{array} | \end{array}

求方程组中的 $x_{i}$ 元素，

也即：

\begin{array}{r} x_{i} = \frac{| A_{i} |}{| A |} = \frac{| \begin{array}{c} a_{11} & \dots & b_{1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & b_{2} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & b_{n} & \dots & a_{n n} \end{array} |}{| \begin{array}{c} a_{11} & \dots & a_{2 i} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & a_{2 i} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{2 i} & \dots & a_{n n} \end{array} |} \end{array}